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「 编者按 」

从哥白尼颠覆性的《天体运行论》，到牛顿改进性的《当然形而上学之数学旨趣》，再到达尔文草创性的《物种发源》……一部部科学经典著述，犹如东说念主类文雅史上灿艳的里程碑，承载着科学家的不凡知悉与不懈追求，奠定了当代科学基石，铺就了东说念主类跨越的路线，引颈咱们迈向愈加广宽的常识天地。

为让更多读者感受科学魔力，北京市科学时刻协会推出“科学路线”专栏，对科学经典著述进行潜入施展。接待您加入这场跨越时空的科学对话，重温科学史上令东说念主齰舌的时刻，一同恍悟科学之好意思，感悟明智之光。

本期咱们带来《好意思妙的数学》一书，让咱们沿途感受数学中的趣、秘、异、好意思、陈旧、严谨、实用。

在许多东说念主的眼中，数学似乎仅仅那些令东说念主头疼的公式运算和繁琐的逻辑推理。可是，数学远不啻于此，它隐敝着一种特有的好意思感，恭候咱们去发现和观赏。

当咱们透过公式和定理的表象，潜入探究其背后的结构和限定时，会发现数学寰宇中蕴含着令东说念主齰舌的对称、谐和和美丽。

荷兰画家梵高的后期作品里，不错发现一些旋涡式的团。据《泰晤士报》报说念，墨西哥物理学家乔斯·阿拉贡经过盘问发现，这些旋涡与科学家用来形容湍流情景的数学公式殊途同归

能够，当你看完这些图之后，会对数学产生一种全新的表露和嗜好，发现它不仅是求解问题的器具，更是观赏寰宇的另一种形状。

“黄金数”——几何学中的瑰宝

巴特农神庙，神庙的长与高之比约为0.618

0.618被达·芬奇称为“黄金数”，而“黄金分割”则被天文体家开普勒赞为几何学中的两大瑰宝之一（另一件瑰宝是毕达哥拉斯定理，即勾股定理）。

顾名念念义，黄金数被赋予黄金一样的熠熠光彩和腾贵价值，受到了东说念主们等闲的接待。

事实上，黄金分割（比）一直统帅着古代中东地区和中叶纪时辰的西方确立艺术，无论是古埃及的金字塔，仍是高古典的巴特农神庙；无论是印度的泰姬陵，仍是巴黎的埃菲尔铁塔，这些众东说念主瞩联想确立都是期骗黄金分割比例旨趣创作的伟大艺术品。

—些稀薄的名画佳作、艺术珍品也处处体现了黄金分割（比）——它们的主题大宗在作品的黄金分割点处（对于绘画、雕琢、确立等艺术来讲，主题中的0.618就怕表咫尺横向，就怕表咫尺纵向。惟有你肯仔细寻觅，便不难发现这个事实）。

在米勒的名画《拾穗者》中，东说念主们发现其构图中期骗了黄金分割

对于某些音乐、电影、文体作品，其中乐章、故事、情节的感奋经常在全曲、全剧、全书的0.618前后。

更真理的是，东说念主体中有着许多黄金分割的例子，比如：东说念主的肚脐是东说念主体全长的黄金分割点，而膝盖又是东说念主体肚脐以下部分体长的黄金分割点，以致有东说念主竟以此模范去斟酌一个东说念主的体形是否模范或健好意思。

达·芬奇在《维特鲁威东说念主》这幅画中，把东说念主体与几何中最完竣而又浅陋的图形（圆和正方形）谋划到了沿途，图中还贮蓄着黄金分割（比）。

达·芬奇《维特鲁威东说念主》，东说念主的身高是按0.618所画，其他部位也按特定比例模范画图，比如双手伸开的宽度等于身高

好意思和对称紧密相接

对称主张最先源于几何，如今它的含义已远远超出几何领域。对称亦然一种谐和好意思，毕达哥拉斯、柏拉图所认为的六合结构最浅陋的基元——正多面体是对称的；他们可爱的图案五角星亦然对称的；圆是最浅陋的闭塞弧线，亦然一种最完竣的对称图形。

德国着名数学家魏尔斯特拉斯说“好意思和对称紧密相接”，从确立物外形到粗浅生计用品，从动植物外貌到生物有机体的构造，从化合物的构成到分子晶体的排布……其中王人有对称。

北京天坛委果立呈现对称结构

古希腊东说念主十分钟情多样对称情景，以致他们竟创立一种学说，认为寰宇一切的限建都是从对称来的。他们认为最对称的东西是圆，是以他们把天文体中的天体通晓轨说念画成圆的，其后圆上加圆，就发展成为希腊其后的天文体。

开普勒盘问天体运行时，再一次用上对称不雅点。他同期发现，用圆上加圆对天体运行限定解释时并不可行，但是将圆换成椭圆就不错了。

倒影看上去是一种最无邪的对称

20世纪盘问发现：对称的紧要性在突飞猛进，这从某个方面也阐明了希腊东说念主目标的合感性。

在能源学问题中，按照对称不雅点来磋议不错取得许多紧要论断。举例一个氢原子中，一个电子圆形轨说念是原子核作用在电子上库仑力的对称效果和把柄。这里对称意味着在通盘方进取力的大小都一样。

在中国，对子是一种国学，雅称“楹联”，其笔墨神圣，真理深奥，对仗玄妙、平仄合营，号称中华英才的文化瑰宝。从笔墨个数和寓意上看，对子亦然一种对称。

“圆”是最好意思的图形

诗东说念主但丁曾嗟叹说念：“圆是最好意思的图形。”从古于今，东说念主们对圆有着非常亲切的情怀。古钱币、徽章、某些图案联想中，王人可找到圆。这在某种进程上是基于圆的完竣与神圣，其实圆亦然一个最完竣的对称（轴对称和中心对称）图形。

蜘蛛网上的水点

数学家对于神圣的追求永无终点。正如牛顿所说：“数学家更容易经受漂亮的效果，不可爱丑陋的论断，而况他们也非常顾惜优好意思与精良的证明，不可爱粗劣与繁复的推理。”

与圆关联的图形还有许多，比如圆锥、圆柱、球……与圆关联的数学命题，更是不堪成列。

古希腊学者阿基米德死于弥留西西里岛的罗马士兵之手。东说念主们为牵记他，便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱”的图形，以牵记他发现“球的体积和名义积均为其外切圆柱体积和名义积的三分之二”这一定理。

传奇阿基米德正在全神灌输地画几何图，又名罗马士兵闯了进来，阿基米德疾声喝说念“别动我的圆！”士兵用利剑刺杀了阿基米德

把一些紧要或著名的数字写成一个圆的螺线形（且由大到小螺旋式顺时针描画），这种图形常会是令东说念主赏心悦联想。

1994年，由一些破译密码志愿者构成的小组生效破译了一个有128位数字的密码。密码破译后译为：\"The magic words are squeamish ossifrage\"（意为“魔术的话语是易受惊吓的髭兀鹰”）。

分形——潦草弧线的数学分支

微积分发明之后，数学家们为了某种联想而造谣的弧线，耐久以来一直视为数学中的“怪胎”（从谐和与否角度看），如构造采集但不可微函数、周长无尽所围面积为零的弧线等。

可是这一切却被慧眼识金的数学家视为张含韵，从某些角度磋议它们又确切被手脚数学中的“好意思”。东说念主们将它们经过加工、索要、抽象、笼统而创立了一门新的数学分支——分形。

分形几何是好意思籍法国数学家芒德布罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，它盘问的是等闲存在于当然界和东说念主类社会中一类莫得特征模范却有着相似结构的复杂时局和睦象。

它与欧氏几何不同。欧氏几何是对于直观空间形骸关系分析的一门学科，盘问的是直线、圆、正方体等轨则的几何形骸，这些形骸都是东说念主为的。但是，“云彩不是球体、山峰不是锥体、海岸线不是圆周”。

分形图示例

20世纪60年代，英国《科学》杂志刊载芒徳布罗的文章《英国海岸线有多长？》。这个看似不是问题的问题，仔细品尝后却会令东说念主大吃一惊：除了能给岀怎么估算的交替性形容外却莫得敬佩的谜底——海岸线长会跟着度量标度（或步长）的变化而变化。

东说念主们在测量海岸线万古（肃穆它是一条不轨则弧线），老是先假设一个标度，然后用它沿海岸线步测一周取得一个多边形，其周长可视为海岸线的访佛值。赫然由于标度录取的不同，海岸线长的数值不一，且标度越紧密，海岸线数值越大。

信得过地讲，当标度趋向于0时，海岸线长并不趋向于某个细则的值，而会变得无尽大（无尽不是数，而是一个极限历程）。

海岸线测量暗示图

许多谋划的分形会产生令东说念主感意思意思的图形，好意思国着名物理学家惠勒说：“不错信托，未来谁不纯属分形，谁就不成被认为是科学上的文化东说念主！”

用有限来填满无限

数学中“用有限来填满无限”是一个真理的话题。20世纪70年代，英国物理学家（亦然就怕把数学作为文娱消遣的数学家）彭罗斯运行有益思意思盘问在兼并张平面上用不同的瓷砖铺设的问题。

1974年，当他发表效果时，东说念主们都大吃一惊。文中他细则了三类瓷砖（下称彭罗斯瓷砖），第一类两种分别为风筝形和镖形，它们是由兼并个菱形剪出的；第二类是由边长相通、胖瘦不一的两种菱形构成的（真理的是它们的面积比恰为0.618）；第三类则由正五边形、菱形、五角星形、黄冠形四种图形构成。

这种瓷砖的奇妙之处在于：用它们中的每一类王人可无相通又无舛错地铺满平面，同期铺设结构不具“平移对称性”，也即是说，从合座上看图形不重复。

更为奇妙的是，利用彭罗斯瓷砖进行铺砌时，还可从铺砌的图形中找出上述瓷砖自己的放大“克隆”。

奇妙的莫比乌斯带

一张纸，一块布，你不错根据它们的时局辞别它的正面和反面，可本质生计中是否存在莫得正反面的曲面？

把一条长的矩形纸带扭转180°后，再把两头粘起来，这就成了仅有一个侧面的曲面（无正反面），它被东说念主们称为莫比乌斯带，由德国数学、天文体家莫比乌斯在1858年发现。

莫比乌斯带的变成图示：矩形带扭转180°，两头粘起来，取得莫比乌斯带

莫比乌斯带的出现，使东说念主们对于正、反面主张有了新的意志。从另外的角度看，这种曲面是一条耐久走不到尽头的（有限）曲面。

一支笔沿莫比乌斯带名义移动（不离开曲面），不久它又回到起初。

师法莫比乌斯带而联想的儿童游戏智力

一只蚂蚁不错爬过莫比乌斯带的通盘这个词曲面而无谓跨越它的旯旮，这是拓扑学中的一个着名问题。

数学中1+2+3+……是一种无尽（无尽大），它莫得上界。而莫比乌斯环这种“耐久不到头”赫然也体现一种无尽。难怪有东说念主认为，数学象征∞（无尽大）恰是莫比乌斯带在平面上的投影。

科学经典推选

好意思妙的数学

吴振奎 著

北京大学出书社

《好意思妙的数学》以数学实例揭示数学潜在的限定，同期探索用好意思学旨趣率领数学创造和发现的蹊径。书中配以200余幅插图、丰富的小贴士和名东说念主语录，全面展现数学的丰富文化过甚与咱们粗浅生计的关系，疏浚东说念主们观赏数学的趣、秘、异、好意思，发现数学的陈旧、严谨、实用。

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